ЧАСТЬ 7 ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВЩИКА

Глава 18 Определение страховых тарифов

181 Математические основы исчисления тарифных ставок

Понятие случайной величины. Страхование возникает там, где существуют явления и процессы случайной природы Поэтому большинство величин, рассматриваемых в страховании, являются случайными величинами С математической точки зрения случайная величина - это переменная, которая может принимать определенные значения с определенной вероятностьютю.

Случайная величина полностью описывается своей функцией распределения Функцией распределения случайной величины x (или интегральной функцией) называется функция, которая каждому числуx ставит в соответствие вероятность того, что x примет значение, меньшеx:

.

Функция определена при всех значениях аргументаx и обладает следующими свойствами:

;

если, то;

;

;

.

Среди случайных величин можно выделить два основных типа - дискретные и абсолютно непрерывные

Дискретной называется случайная величина, которая может принимать конечной или счетное множество значений Дискретными есть, например, такие величины: количество исков (страховых случаев) в текущем году или количественных во договоров, которые будут заключены страховщикомм.

Если функция распределения случайной величины x можно представить в виде

,

где - некоторая неотъемлемая функция, то случайная величина x называется абсолютно непрерывной, а функция - плотностью распределения случайной величины x Совершенно непрерывными можно считать, например, величина будущих доходов страховщика, а также длительность ожидания между двумя последовательными страховыми случаями

Числовые характеристики случайных величин. В страховой практике, как правило, нас интересуют не сами случайные величины, а некоторые их числовые макрохарактеристик Важнейшими из них являются математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание (его называют также средним или ожиданиям значению) - это средневзвешенное по вероятности значения случайной величины Для дискретных случайных величин математическое ожидание вычисляется с фор формулы:

,

где xi - значение, которых приобретает случайная величина; pi - вероятности их реализации Для абсолютно непрерывных случайных величин математическое ожидание подается так:

,

гдеp x - плотность случайной величины x Если случайная величина неотъемлемая (0

.

Для любых постоянныхa, b и случайных величин x, zвиконуються такие свойства математического ожидания:

;

;

.

Дисперсия характеризует отклонение случайной величины x от ее среднего значения и вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

Дисперсия удовлетворяет следующие соотношения:

;

;

;

,

гдеa, b - произвольные постоянные; x - случайная величина Если случайная величина неотъемлемая, дисперсию можно вычислить по формуле:

.

Наряду с дисперсией часто используют производные понятия - стандартное отклонение и коэффициент вариации. Стандартным или среднеквадратичным, отклонением называют корень квадратный из дисперсии:

.

Отношение стандартного отклонения случайной величины x к модулю математического ожидания называется коэффициентом вариации:

.

Для случайной величины x квантиль уровня a (или a-квантиль) называется величинаt a, которая при заданном значении доверительной вероятности a екоренем уравнения

.

Независимость случайных величин. Случайные величины x и z называются независимыми, если по известному значению величины x нельзя сделать никаких выводов относительно значения z, и наоборот, значение z никак не влияет на осведомленность с величиной x Формально случайные величины x и zназ зиваються независимыми, если при любых значенияхa и b вероятность события является произведением вероятностей событий и:

.

Если случайные величины не удовлетворяют приведенную только условие, то они называются зависимыми Примером зависимых случайных величин является количество исков и суммарный размер выплат Отсутствие исков означает отсутствие выплат Пусть h - количество исков (количество выплат) в текущем году, x - - соответствующая сумма выплат у страховщика Пусть с вероятностью 10% в течение года выплат в Страховщик не Этот факт можно записать несколькими способамиспособами:

;

;

.

Итак Это означает, что случайные величины h и x зависимые Независимыми случайными величинами могут считаться, например, количества исков по различным видам страхования

Приведем два важных свойства Если случайные величины x и z независимы, то для них выполняются следующие соотношения:

;

.

Статистические оценки. Часто у нас нет информации о реальном распределении случайной величины x, но имеем некоторую совокупность наблюдений, в результате которых она принимает значенияx 1x 2x 3, xn Эта совокупность значений называется выборке, а величины

і

соответствии выборочным (эмпирическим) средним и несмещенной выборочной (эмпирической) дисперсией Выборочное среднее используют для оценки математического ожидания:

,

несмещенной выборочная дисперсия является оценкой дисперсии случайной величины

.

Принципы исчисления тарифных ставок. В актуарной практике используются самые разнообразные методы вычисления тарифных ставок Все они базируются на принципе эквивалентности финансовых обязательств страхователя и страховщика Но парадокс с состоит в том, что не существует единого взгляда на то, как толковать этот общепризнанный принцип страхования Рассмотрим распространенные подходы к трактовке принципа эквивалентностисті.

Эквивалентность финансовых обязательств как эквивалентность ожидаемых значений. Обязательства страхователей состоят в уплате страховых премий Обязательства страховщика оплачивать иски страхователя Пустьp означает сумму собранных страховщиком премийХ - суммарные выплаты страховщика Естественно считать, что справедливой платой за ризикстраховикае ожидаемое (среднее) значение случайной величиныХ:

.

В таком виде принцип эквивалентности довольно часто используется в страховании жизни и некоторых других отраслях массового страхования

Эквивалентность обязательств с точки зрения теории разорения. Обязательства страхователей имеют безусловный характер Покупая полис, страхователь освобождает себя от риска неожиданных расходов Расходы страховщика, наоборот, непредсказуемые Страховщик берет на себя риз зык, который заключается в том, что его выплаты будут значительно большеза M[Х] Поэтому страховщик вправе требовать дополнительной платы за ущерб - рисковую надбавкуL С этой точки зрения подтверждается соотношение:

.

Возникает вопрос: какими должны быть размеры рисковой надбавки L и страховой премииp?

Факт разорения страховщика описывается соотношениемU + p \u003cX, гдеU - розмирвласних средств страховщика Согласно вероятность разорения равна.

Итак, если страховщик пытается достичь вероятности разорения a, то он должен обеспечить размер страховых премийp таким, чтобы выполнялось соотношение:

.

Такое понимание принципа эквивалентности является наиболее распространенным в сегодняшней практике Основным недостатком этого подхода является высокая абстрактность понятия «вероятность разорения» Какова вероятность разорения ния страховщика считается достаточной - 10 1 или 0,1%? хотя может привести к необходимости увеличить рисковую надбавку в полтора раз півтора раза.

Принцип эквивалентности обязательств в терминах теории разорения имеет математически обоснованную форму, но применение его в актуарной практике может приводить к значительным колебаниям расчетных значения н.

Эквивалентность обязательств с точки зрения теории полезности. Сейчас все популярнее становится подход к формализации принципа эквивалентности финансовых обязательств страхователя и страховщика, основанный на теории полезности

Основным понятием этой теории является функция полезности Функцией полезности называют функциюu(x), которая обладает следующими свойствами:

функция u растущая -u(x)u(y) при xy;

функцияu удовлетворяет неравенство Йенсена;

функция u удовлетворяет условию нулевой полезности.

Функция полезности определяет степень важности для страховщика определенных денежных сумм Она имеет субъективный характер, включая психологический компонент

С помощью функции полезности принцип эквивалентности можно записать так:

.

Итак, ожидаемая полезность капитала страховщика после принятия рисков не должна уменьшиться по сравнению с полезностью начального капитала На практике часто применяют экспоненциальная и квадратичную функции полезности

Главная проблема при практическом использовании принципа эквивалентности в терминах теории полезности - отыскание адекватной функции полезности