182 Определение тарифов по договорам страхования жизни

Страховая выплата по договорам страхования жизни осуществляется единовременно в размере страховой суммы (ее части) и / или в виде последовательных выплат страховой суммы (дополнительное обеспечение дохода застрахованного лица в случае его болезни, достижения им е ИКУ, который определен в договоре страхования, наступление определенных событий в ее жизни.

страховые выплаты осуществляются в случае:

• смерти застрахованного лица;
• дожития застрахованного лица до окончания срока действия договора страхования;
• достижения застрахованным лицом пенсионного возраста (страхование дополнительной пенсии) или возраста, который определен в договоре страхования;
• наступления события в жизни застрахованного лица, обусловленная в договоре страхования (заключение брака, рождение ребенка, поступление в учебное заведение, смерть близкого родственника застрахованного лица - дружи ини, мужа, детей, родителей.

Условия договора страхования жизни могут дополнительно предусматривать обязанность страховщика осуществить страховые выплаты в случае:

• болезни застрахованного лица;
• временной нетрудоспособности застрахованного лица вследствие несчастного случая;
• стойкой нетрудоспособности (инвалидности) застрахованного лица в результате несчастного случая

Основные статистические параметры в страховании жизни. Нетто-тариф по договору страхования жизни для каждого из приведенных только страховых рисков (страховых событий) определяют на основе статистических закономерностей страховых рисков в течение действия догово ору страхования и инвестиционного дохода от размещения страховых резерве.

математической модели случайных процессов дожития и смертности, нетрудоспособности, болезни в случае перехода застрахованных лиц из одной возрастной категории в другую являются региональные таблицы дожития и смертно ости и соответствующие региональные или селективные (по полу, состоянию здоровья, продолжительностью нетрудоспособности или болезни, профессии, региону проживания и т.п.) статистические таблицы страховых рисков, их форм ують страховщик.

При определении нетто-тарифа по договору страхования жизни используют:

• региональную или селективную таблицу дожития и смертности;
• региональные или селективные таблицы дополнительных страховых рисков;
• годовую ставку инвестиционного доходаi;
• таблицы коммутационных чисел для установленной в договоре страхования годовой ставки инвестиционного дохода и вероятностей соответствующих страховых рисков

Основные параметры таблицы дожития и смертности:

lx - количество лиц, доживших до возрастаx лет (переменнаяx обозначает полное количество лет застрахованного лица на момент заключения договора страхования жизни);

- количество лиц в возрастеx лет, не доживут до возрастаx 1 год, при этом:

;

- коэффициент смертности для лица в возрастеx лет (вероятность смерти в течение года для лица в возрастеx лет), при этом:

;

- вероятность дожить до возрастаx 1 для лица в возрастеx лет;

- вероятность смерти в течениеt лет для лица в возрастеx лет;

- вероятность прожить не менееt лет для лица в возрасте x лет, при этом:

,

откуда

;;;

;.

При заключении договора страхования жизни, условия которого предусматривают страховые риски, которые только определено, для каждого из этих страховых рисков рассчитывают соответствующие статистические таблицы, различая их с помощью индексовj = 0, 1, 2), при этом индексj = 0 используют для таблиц дожития и смертности

Основные параметры статистических таблиц дополнительных рисков следующие:

lx - количество лиц, доживших до возрастаx лет (должно быть равно значению такого же параметра в таблице дожития и смертности);

- количество лиц в возрастеx лет, для которыхj-и страховое событие наступит в течение года (до наступления возрастаx 1 год);

- количество лиц в возрастеx лет, для которыхj-и страховое событие наступит в течениеt лет (на промежутке времени отх к x t лет);

- вероятность наступления в течение годаj-й страхового события для лица в возрастеx лет;

- вероятность наступления в течениеt летj-й страхового события для лица в возрастеx лет, при этом

;

- вероятность того, чтоj-и страховое событие не наступит в течениеt лет для лица в возрастеx лет

Расчеты нетто-тарифов по договорам страхования жизни выполняют на основе статистических таблиц страховых рисков При этом для каждого страхового риска рассчитывают такие коммутационные числа:

;;

;;

;,

где w - предельный согласно таблице смертности возраст;

t - переменный индекс, равный полной количества лет с момента начала действия договора страхования жизни;

n - дисконтувальний множитель, для установленной годовой ставки инвестиционного доходаi определяется соотношением:

.

Таблица коммутационных чисел складывается для всех значений возрастаx и ставкиi годового инвестиционного дохода, применяемых в расчетах нетто-тарифа

Страховые аннуитеты. Страховой аннуитет - это последовательность страховых платежей или страховых выплат двух видов:

аннуитет пренумерандо - последовательность страховых платежей или страховых выплат, осуществляется в начале каждого оговоренного периода времени;

аннуитет постнумерандо - последовательность страховых платежей или страховых выплат, осуществляется в конце каждого оговоренного периода времени

Годовые аннуитеты - это последовательность страховых платежей или страховых выплат, осуществляемых один раз в год

Действительная стоимость страховых аннуитетов (ожидаемая стоимость будущих страховых платежей или предстоящих страховых выплат на момент заключения договора страхования) определяется, как правило, в расчете на одну денежную единицу годовых аннуитетов постнумерандо Другие варианты платежей - полугодовые, ежеквартальные и ежемесячные страховые аннуитеты как постнумерандо, так и пренумерандо определяются через летние аннуитеты постнумерандоо.

Действительная стоимость годовых страховых аннуитетов постнумерандо на момент заключения договора страхования жизни для застрахованного лица в возрастеx лет в общем случае рассчитывается аналитически по формуле

,

гдеP(t) - вероятность наступления страхового события для застрахованного лица за промежуток времени отt к t 1 года действия договора;

значение целого индексаt определяет порядок года в пределах срока действия договора страхования;

значениеb(t) определяет размер годового страхового платежа или годовой страховой выплаты

Дисперсия таких аннуитетов определяется так:

,

где 2a(t) - аннуитет вида

.

Действительная стоимость страховых аннуитетов постнумерандо на момент заключения договора страхования жизни определяется аналитически или с помощью коммутационных чисел с учетом данных статистических таблиц для к каждого страхового риска

• при заключении договора страхования жизни без ограничения срока действия договора (пожизненное страхование) действительная стоимость страхового аннуитета ax, ежегодно выплачивается в размере единица (случайb(t) = 1), пока застрахованное в возрастеx лет лицо живое, определяется вероятностьюP(t) = и вычисляется с помощью соотношения:

или;

• при заключении договора страхования жизни на срокn лет действительная стоимость страхового аннуитета , который в течениеn лет ежегодно уплачивается в размере единица, пока застрахованное в возрастеx лет лицо живое, определяется вероятностью и рассчитывается с помощью соотношений:

или;

• при заключении договора страхования жизни без ограничения срока действия договора (пожизненное страхование) действительная стоимость страхового аннуитета ( Ia)x, который уплачивается в размере единица за каждый год действия договора (случайb(t) =t), пока застрахованное в возрастеx лет лицо живое, определяется вероятностьюP(t) = и вычисляется с помощью соотношения:

или;

• при заключении договора страхования жизни на срокn лет действительная стоимость страхового аннуитета , который в течениеn лет выплачивается в размере единица за каждый год действия договора, пока застрахованное в возрастеx лет лицо живое, определяется вероятностью и вычисляется с помощью соотношения:

или

;

• при заключении договора страхования жизни без ограничения срока действия договора (пожизненное страхование) на случай наступленияj-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица действительная стоимость единицы единовременной страховой выплаты jAx определяется вероятностью и рассчитывается с помощью соотношений:

или;

• при заключении договора страхования жизни на срокn лет на случай наступленияj-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица действительная стоимость единицы единовременной страховой выплаты определяется с помощью соотношений:

или.

пример. При заключении договора страхования жизни на срокn лет, условия которого предусматривают страховое событие «стойкая нетрудоспособность (инвалидность) застрахованного лица в результате несчастного случая», действительная стоимость единицы единовременной страховой выплаты определяется вероятностью и вычисляется по формуле

,

где - вероятность наступления в течение года инвалидности вследствие несчастного случая для застрахованного в возрастеx лет лица, при этом случай n=

;

• при заключении договора страхования жизни, условия которого предусматривают страховое событие «дожитие застрахованного в возрастеx лет лица до окончания срока действия договора »(n - количество лет действия договора страхования), действительная стоимость единицы страховой выплаты определяется так:

или.

при заключении договора страхования жизни, условия которого предусматривают страховое событие «болезнь застрахованного лица» или страховом событии «временная нетрудоспособность застрахованного лица вследствие несчастного случае », действительная стоимость единицы страховой выплаты за каждый день болезни (нетрудоспособности) определяется вероятностью

и пропорционально значений средней за год количестваМ(L) дней болезни (временной нетрудоспособности) и средней за год количестваМ(N) заболеваний для застрахованного лица и вычисляется с помощью соотношения

,

где - вероятность наступления в течение года болезни (временной нетрудоспособности) для застрахованного в возрастеx лет лица При этом случайn= определяет действительную стоимость страхового аннуитета без ограничения срока действия договора

.

Действительная стоимость страховых аннуитетов пренумерандо (обозначение с двумя точками над выражением) в расчете на одну денежную единицу годовых платежей или выплат определяется аналитически или с помощью коммутационных чисел через действительную стоимость соответствующих х аннуитетов постнумерандо (обозначение без точек над выражением) таким образом

x = 1 ax или = ,

x -n n NPX или .

Действительная стоимость страховых аннуитетов с выплатамиm раз в год (обозначение с верхним индексом (m)) в расчете на одну суммарную за год денежную единицу страховых платежей или выплат определяется для случаев постнумерандо и пренумерандо через соответствующие годовые аннуитеты следующим формулам:

аx;

= аx;

;

.

Действительная стоимость единицы страховых выплат для договоров страхования жизни с немедленной выплатой страховой суммы в случае наступления страхового события (обозначение с насечкой над выражением) определяется с помощью й соотношений

;;

где - интенсивность годовой ставкиі инвестиционного дохода

Действительная стоимость страховых аннуитетов, которые отсрочены наw лет (обозначение с боковой индексомw

w ax =n w wpx ax w илиw ;

w x =n в WPX + w илиwx ;

wa =n w wpx a илиwa = ;

w =n w WPX илиw .

Расчет нетто-премий по договорам страхования жизни. Нетто-премии рассчитываются на основании принципа эквивалентности обязательств, которые берут страховщик (страховые обязательства) и страхователь (обязательства уплаты страховых взносов) на момент заключения д договора страхования (принцип эквивалентности действительных стоимостей обязательств.

Приведенные только соотношение позволяют вычислять нетто-премии (в случае уплаты премий пренумерандо) для договоров страхования жизни, которые учитывают наступления одного, нескольких или всех указанных стр Рахов события.

Размер нетто-премииN по каждому договору страхования жизни определяется соотношением

N = TS,

гдеТ - нетто-тариф страхового взноса с единицы страховой суммы;

S - страховая сумма по заключенному договору страхования жизни

Если условия договора страхования жизни предусматривают наступление нескольких страховых событий, нетто-премия по такому договору страхования рассчитывается как сумма соответствующих нетто-премий для каждой страховой п события.

При определении нетто-премий актуарий прогнозирует значение годовой ставкиi инвестиционного дохода в зависимости от срока действия договора страхования Расчетное значение годовой ставки инвестиционного дохода может корректироваться с учетом значения годовой ставки инфляции f по формуле

.

При расчете нетто-премииN только на случай дожития застрахованного в возрастеx лет лица до окончания срока действия договора страхования (n - количество лет действия договора страхования) величина нетто-премии определяется пропорционально величины страховой суммыS:

• при уплате страховой премии единовременно:

;

• при уплате годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхованияk лет:

При расчете нетто-премии только в случае наступленияj-й страхового события нетто-премия пропорционально страховой суммыS, выплачиваемой немедленно после наступления страхового события, и определяется соотношениями:

• при пожизненном страховании в случае уплаты страховой премии единовременно:

;

• при пожизненном страховании в случае уплаты годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхованияk лет:

• при пожизненном страховании в случае уплаты годовых страховых премий пожизненно:

;

• при страховании на срокn лет при уплате страховой премии единовременно:

;

• при страховании на срокn лет при уплате годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхованияk лет:

При расчете нетто-премии на случай наступления страхового события «болезнь застрахованного лица» или страхового события «временная нетрудоспособность застрахованного лица вследствие несчастного случая», когда ум языках договора предусматривается последовательность страховых выплат размером за каждый день болезни (нетрудоспособности), нетто-премия определяется соотношениями:

• при пожизненном страховании в случае уплаты страховой премии единовременно:

;

• при пожизненном страховании в случае уплаты годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхованияk лет:

;

• при пожизненном страховании в случае уплаты годовых страховых премий пожизненно:

;

• при страховании на срокn лет при уплате страховой премии единовременно:

;

• при страховании на срокn лет при уплате годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхованияk лет:

.

При расчете нетто-премии на случай наступления страховых событий «достижения застрахованным лицом пенсионного возраста или возраста, который определен в договоре страхования», а также «смерти застрахованного лица» »нетто-премия определяется через страховую суммуS, выплачиваемой в случае смерти застрахованного лица немедленно, и из-за размераR ежегодной пенсии пренумерандо соотношениями:

• при пожизненном страховании лица в возрастеx лет на случай смерти и на случай выплаты пожизненной пенсии, начиная с возраста застрахованного лица x w лет, в случае уплаты страховой премии единовременно:

;

• при страховании на срокn лет застрахованного в возрастеx лет лица на случай смерти и на случай выплаты пенсии, начиная с возраста x+ w лет до возраста x+ n лет, в случае уплаты годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхования k лет:

.

Зависимость нетто-тарифа от запланированного количества договоров Приведенные формулы расчета нетто-премий представляют собой математическое ожидание выплат страховщика и удовлетворяют резервы компании по страхованию жизни в случае многих (нескольких тысяч) догово Орив При планировании меньшего количества договоров приведены формулы следует корректировать с учетом среднеквадратичного отклонения аннуитетов выплат и платежей Рассмотрим, как это нужно делатьти.

тарифT 0 рассчитанных нетто-премий увеличивают на значение в рисковой надбавки DT так, чтобы выполнялось равенство

T =T 0 DT.

Рисковая надбавка к нетто-тарифа определяется с учетом запланированного количестваN договоров страхования уровнем g доверительной вероятности (g уровня g и вычисляется по формуле

,

где s - стандартное отклонение тарифа рассчитанной нетто-премии

стандартное отклонение s (T) зависит от дисперсии аннуитета выплат, нормируется размером аннуитета платежей и определяется для каждого типа договора страхования отдельно:

• при пожизненном страховании только на случай наступленияj-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица, если страховая премия уплачивается единовременно и немедленно выплачивается единица страховой суммы в случае наступления страхового события:

,

гдеd - размер дисконта, который определяется через годовую ставку и инвестиционного дохода по формуле

;

• при пожизненном страховании только на случай наступления j-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица, если годовые страховые премии выплачиваются в течение первых обусловленных договором страхованияk лет и немедленно выплачивается единица страховой суммы в случае наступления страхового события:

;

• при пожизненном страховании только на случай наступления j-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица, если годовые страховые премии выплачиваются пожизненно и немедленно выплачивается единица страховой суммы в случае наступления страхового события:

;

• при страховании на срокn лет только в случае наступленияj-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица, если страховая премия уплачивается единовременно и немедленно выплачивается единица страховой суммы в случае наступления страхового события:

;

• при страховании на срокn лет только в случае наступленияj-й страхового события для застрахованного в возрастеx лет лица, если годовые страховые премии выплачиваются в течение первых обусловленных договором страхованияk лет и немедленно выплачивается единица страховой суммы в случае наступления страхового события:

;

• при страховании только на случай дожития застрахованного в возрастеx лет лица до окончания срока действия договора страхования (n - количество лет действия договора страхования), когда страховая премия уплачивается единовременно:

;

• при страховании только на случай дожития застрахованного в возрастеx лет лица до окончания срока действия договора страхования (n - количество лет действия договора страхования) в случае уплаты годовых страховых премий в течение первых обусловленных договором страхованияk лет:

.

Аналогично стандартное отклонение нетто-тарифа определяется для каждого рассматриваемого типа договора страхования

Пример Рассмотрим основную частьT 0 и возможные (относительно запланированного количества договоров страхования) рисковые надбавки DT к нетто-тарифаT при заключении договора пожизненного страхования жизни мужчины в возрасте 45 лет только на случай смерти, если оплачиваются первые 5 годовых страховых премий и немедленно выплачивается единица страховой суммы при наступлении страхового события.

Для расчетов выберем значение ставки и инвестиционного дохода равным 4% (i = 0,04), и возьмем уровень доверительной вероятности g = 0,95, так что = 1,645

На основании данных таблицы дожития и смертности в Украине за 1994, 1995 гг, по формуле

приS = 1 вычисляем нетто-тарифT 0 = 0,0980134

Согласно формуле

;

зависимость нетто-тарифа от запланированного количества договоров страхования отражает таблица, приведенная на стр. 534