183 Определение тарифов по договорам общего страхования

Классический подход к определению тарифов Во договорам общего страхования понимать договоры страхования, не являются договорами страхования жизни Договоры общего страхования характеризуются относительно коротким сроком действия договора в - от нескольких дней до одного года Эта особенность определяет характерные особенности расчета страховых тарифов по таким договорамми:

• исчисляется размер только разовой страховой премии;
• не учитывается возможный инвестиционный доход от размещения временно свободных средств страховых резервов по этим видам страхования

При расчете нетто-премии по договорам общего страхования считают, что размерN разовой нетто-премии выражает эквивалентность обязательств страховщика и страхователей и пропорционально страховой суммыS:

,

где коэффициент пропорциональностиТ называют нетто-тарифу или нетто-ставке.

Брутто-премияB, или просто страховая премия, пропорциональная нетто-премииN:

,

где коэффициент пропорциональности a (a 1) содержит долю f нагрузки (административные расходы, комиссионные, плановая прибыль страховщика) и определяется соотношением

.

Для определения структуры нетто-тарифа по договору общего страхования рассмотрим гипотетический случай, когда известна вся необходимая для расчетов информация

Пример Предположим, что при проведении страхования определенного риска (например, имущественное страхование зданий от стихийного бедствия) в течение фиксированного промежутка времени Dt (например, одного года) страховщиком запланировано:

• проведения страхования поn ( n = 1, 2, ...) договорам со страховыми суммамиS 1S 2S 3 ... Sn соответственно;
• наступления по этим договорамm страховых случаев со страховыми выплатами, , ....

Определим размер нетто-тарифа при страховании риска, который бы взятым обязательствам страховщика из названных видов страхования

В рассматриваемом случае нетто-тариф можем определить на основании общего принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователей обязательства страховщика равны сумме страховых возмещений

,

а обязательства страхователей - сумме внесенных нетто-премий

гдеT 0 - нетто-тариф, нужно определить значениеT 0 в данном примере можем найти из уравнения баланса обязательств страховщика и страхователей:

,

или

.

В этом балансовом соотношении удобно выполнить усреднение по договорам страхования, поделив обе части последнего на mn:

,

а дальше, введя значение - средней страховой выплаты и значение - средней страховой суммы на один договор

, ,

перейти к соотношению

,

откуда находим искомое значение нетто-тарифа

.

Последнюю равенство записывают, как правило, в виде

,

есть выражают нетто-тариф при страховании определенного риска через два основных параметра:

• коэффициент убыточности по данному страховому риску

;

• относительную частоту наступления страхового события по данному страховому риску

.

Приведенные соотношения решают поставленную задачу и позволяют рассчитывать нетто-тариф при страховании определенного риска только в апостериорных (пислядослидному) случае, когда известна вся необх необходимость информация, а именно - известные значения параметровn, m, , или Kзбw На практике при априорном (до начала опыта) определении тарифов ни один из этих параметров не известен и все они являются случайными положительными величинами Но приведенный пример и полученные соотношения м имеют важное значение для проверки и корректировки по результатам страховой деятельности правильности априорного определения тарифов Именно эти соотношения указывают на необходимость в деятельности каждого с траховои компании постоянного наблюдения и анализа значений параметров Kзбб, w по принятому на страхование риском и позволяют периодически корректировать заранее определенные для такого риска тарифные ставки

При априорном определении нетто-тарифа в общем случае рассматриваемой модели страховых возмещений в соотношенииT 0 = Kзбw нужно решить противоречие, которое заключается в том, что левая часть (нетто-тариф) должен быть заранее определенной фиксированной величиной, а правая часть есть случайная величина, значение которой могут существенно но меняться в различные периоды деятельности страховщик.

Для решения этого противоречия широкое применение получил метод, основанный на том, что вместо случайной величины достаточно взять ее наибольшее возможное с заданной доверительной вероятностью значения ния

Такой подход определяет структуру нетто-тарифа по договору общего страхования:

,

гдеT 0 = M [Kзбw] - основная часть нетто-тарифа (математическое ожидание величины ущерба с единицы страховой суммы в случае большого количества договоров страхования по определенным риском);

Tр = T 0J - рисковая (страховая) надбавка к основной части нетто-тарифа, которая с заданной доверительной вероятностью учитывает возможные нежелательные отклонения J относительной величины выплат и вычисляется по формуле:

,

гдеn - количество договоров страхования по определенным риском, планируется;

p - вероятность наступления страхового события по определенным риском

По закону больших чисел при больших значенияхn случайная величинаw направляется с вероятностью единица к значениюр теоретической вероятности наступления страхового события по определенным риском иp =M[w]

Итак, нетто-тариф при страховании выделенного риска рассчитывается с заданной доверительной вероятностью g по формуле

,

гдеt g - квантиль уровня g нормального распределения;

n - количество договоров страхования по определенным риском, планируется;

p - вероятность наступления страхового события по определенным риском;

M [Kзб] - математическое ожидание убыточности

Математическое ожидание величины Kзб для определенного риска практически не изменяется и может быть определен так:

• 0,3 - при страховании от несчастных случаев и болезни;
• 0,4 - при страховании средств наземного транспорта;
• 0,5 - при страховании грузов и имущества (кроме средств транспорта);
• 0,6 - при страховании средств воздушного и водного транспорта;
• 0,7 - при страховании ответственности владельцев автотранспортных средств и других видов ответственности, а также при страховании финансовых рисков

Для вычисления нетто-премии по договору страхования определенного риска следует нетто-тариф умножить на страховую сумму: N = ST.

Заметим, что величина нетто-тарифа существенно зависит:

• от запланированного количества договоров страхования по определенным риском и уменьшается с их ростом к математическому ожиданию величины убытков с единицы страховой суммы;
• от значения доверительной вероятности искомого тарифа и растет с приближением этого значения к единице;
• от точности выбора значения коэффициента убыточности

Страховые тарифы в индивидуальной модели риска Приведенные формулы в явном виде выражают классический подход расчета нетто-тарифа для страхового риска при наличии минимальной информации о возможных будущих страховые выплаты Если известны дополнительной ове статистические данные о процессе наступления страхового события, возможно применение более точных методов вычисления страховых тарифев.

Для решения соответствующих задач вводят различные статистические модели страховых рисков и рассматривают соответствующие модели распределения суммарного размера страхового возмещения простой из них является модель индивидуальных рисков, которая по договорам общего страхования предусматривает:

• количествоn независимых между собой договоров страхования фиксированная и предопределена;
• для каждого договора страхования известны статистические свойства связанного с ним возможного возмещения Хk, гдеk - порядковый номер договора

Заметим, что далеко не по каждому договору выплачивается страховое возмещение, поэтому некоторые случайные величины Хk (страховых возмещений поk-м договору) могут равняться нулю

Общий размер страхового возмещения по страховому событию, т.е. размер обязательств страховщика, определяет сумма независимых между собой случайных величин

.

В общем случае при использовании модели индивидуального риска величина Bk страховой премии заk-м договору страхования (k = 1, 2, ...n) рассчитывается из условия достаточности с заданной доверительной вероятностью полученных страховых премий для выполнения обязательств страховщика по формуле

,

гдеM[ Xk] - математическое ожидание возмещений поk-м договору страхования;

J - относительная страховая надбавка

Основной вклад в величины Bk в общем случае вносит значение суммыM[ Xk], которую называют основной частью нетто-премии Дополнительную сумму JM[ Xk] называют рисковой (страховой) надбавкой к основной части, которая с заданной доверительной вероятностью учитывает возможные нежелательные отклонения относительной частоты наступления страхового события

На практике используют несколько способов расчета относительной страховой надбавки при страховании определенного риска:

1) с фиксированным значением для всех договоров страхования

,

гдеt g - квантиль уровняg нормального распределения;

M[ Sn] - математическое ожидание суммарного размера страховых возмещений;

D[ Sn] - дисперсия суммарного размера страховых возмещений;

2) с переменным значением, пропорциональным дисперсии или среднеквадратичному отклонению величины страхового возмещения Хk поk-м договору, т.е. в виде

или , k = 1, 2, ...n.

Заметим, что в приведенных соотношениях числовые характеристики случайных величин Хk страхового возмещения поk-м договору определяются в зависимости от имеющейся статистической информации о процессе наступления страхового события

В случае, если известны числовые характеристики суммарного размера Sn страховых возмещений по страховым риском на основании центральной предельной теоремы, можно вычислить вероятность достаточности имеющихся страховых резервов размераr для выполнения обязательств страховщика по риску:

,

или вероятности разорения (недостаточности имеющихся страховых резервов):

,

гдеF 0 (x) - интегральная функция нормированного нормального распределения

Страховые тарифы в коллективной модели риска Cкладнишу модель распределения суммарного размера страхового возмещения по определенным риском выражает коллективная модель риска, которая рассматривает не отдельные договоры страхования, а весь портфель договоров по данному страховому риску и предусматривает следующее:

• количествоn требований о страховом возмещении по данному риску на фиксированном промежутке времени есть случайная величина (как правило, с пуассоновским распределением);
• значение последовательных страховых возмещенийY 1Y 2 ...Y n по портфелю страхового риска за этот промежуток времени образуют последовательность случайных величин, одинаково распределены;
• случайные величиныn, Y 1Y 2 ...Y n независимы в совокупности

Коллективная модель учитывает возможность неоднократного наступления страхового события по одному договору страхования (что очень важно в договорах общего страхования), не ограничена условием определенности кол кости будущих договоров страхования и рассматривает всегда положительные значения возмещений Yk, k = 1, 2, ..., n (в отличие от индивидуальной модели, где значение возмещений Хk могли быть нулевыми) Суммарный размер S страховых возмещений по страховым риском в коллективной модели определяет случайная сумма независимых между собой случайных величин

.

По заданным числовыми характеристиками количестваn требований о страховом возмещении и величинеY одного страхового возмещения в общем случае можем найти числовые характеристики суммарного размераS страховых возмещений по страховым риском в коллективной модели

;

.

Самую простую и распространенную модель распределения количества страховых требований n определяет распределение Пуассона с параметром l, когда

, k = 0, 1, 2,

причем

M [n] =D [n] = l

В этом случае распределение случайной величиныS называют сложным распределением Пуассона, а ее числовые характеристики определяют по формулам

;

.

Заметим, что параметр l распределения Пуассона случайной величиныn и интегральную функциюF(t) =P{Y \u003ct распределения значений случайной величины Y одного страхового возмещения называют параметрами сложного распределения Пуассона, записывают в виде S ~ CP (l;F) Кроме того, в приведенных соотношениях параметр l определяет среднюю по портфелю количество страховых требований (требований о выплате страхового возмещения) за единицу времени (например, один год)

В страховой практике очень важен тот факт, что сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет сложное распределение Пуассона, также сложное распределение Пуассона Выполняется утверждение:

ЕслиS 1S 2, ... - взаимно независимые случайные величины, каждая из которых распределена по сложным распределением Пуассона Sk ~ CP (lk; Fk)k = 1, 2, ..., и ряд - сходящийся, то суммаS ==S 1S 2 также сложное распределение ПуассонаS ~ CP (l;F), параметры которого определяют соотношение

.

Приведенное утверждение на практике используют в следующих случаях:

• при объединенииm независимых страховых портфелей, таких что суммарный размер страховых возмещений Sk, k = 1, 2, ...m по каждому из них имеет сложное распределение Пуассона Sk ~ CP (lk; Fk), в результате получают объединенный портфель, суммарный размер страховых возмещенийS которого также будет определять сложное распределение ПуассонаS ~ CP ( ;);
• при исследовании суммарного поm лет страхового возмещенияS по одним и тем же страховым риском с независимыми годовым суммарным страховым возмещением Sk, k = 1, 2, ...m, каждое из которых имеет сложное распределение Пуассона, можем считать, чтоS также сложное распределение Пуассона

В общем случае при использовании модели коллективного риска величинаB страховой премии для всех договоров страхования одинакова и определяется из условия достаточности с заданной доверительной вероятностью полученных страховых премий для выполнения обязательств страховщика по формуле

B =l 1M[Y] (1 J)

гдеM[Y] - математическое ожидание выплаты одного страхового возмещения;

l1 - средняя на один договор количество страховых требований за единицу времени;

J - относительная страховая надбавка

Основной вклад в величиныB в общем случае вносит значение суммы l1M[Y], которую называют основной частью нетто-премии Дополнительную сумму Jl1M[Y] называют рисковой (страховой) надбавкой к основной части, с заданной доверительной вероятностью учитывает возможные нежелательные отклонения относительной частоты наступления страхового события

Относительная страховая надбавка при страховании определенного риска имеет фиксированное для всех договоров значение и рассчитывается по формуле

,

гдеt g - квантиль уровня g нормального распределения;

M[S] - математическое ожидание суммарного размера страховых возмещений;

D[S] - дисперсия суммарного размера страховых возмещений

Математическое ожиданиеM[Y] одного страхового возмещения определяется в зависимости от имеющейся статистической информации о процессе наступления страхового события

Средняя на один договор количество l1 страховых требований за единицу времени (в общем случае - за один год) рассчитывается на основании средней по портфелю количества l страховых требований за единицу времени (также - один год)

,

где n - определяет количество договоров страхового портфеля, для которого найдено оценку параметра l